Pengertian Persamaan Kuadrat: Konsep, Rumus, Dan Contoh Soal Lengkap Dengan Exact Keyword Persamaan Kuadrat

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan salah satu jenis persamaan matematika yang memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0. Dalam persamaan ini, x adalah variabel yang mencari nilai yang memenuhi persamaan. Persamaan kuadrat juga dikenal sebagai persamaan polinomial orde dua karena memiliki pangkat tertinggi 2.

Komponen Persamaan Kuadrat

Setiap persamaan kuadrat memiliki tiga komponen, yaitu:

1. Koefisien a: Merupakan angka yang mengalikan x^2, dan tidak boleh sama dengan 0. Koefisien a menentukan apakah parabola yang dihasilkan akan membuka ke atas atau ke bawah.
2. Koefisien b: Merupakan angka yang mengalikan x yang biasanya disebut koefisien linier. Koefisien b menentukan letak sumbu simetri dari parabola.
3. Konstanta c: Merupakan angka yang tidak memiliki variabel. Konstanta c menentukan posisi parabola terhadap sumbu y.

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, di antaranya:

1. Faktorisasi
2. Menggunakan rumus kuadrat
3. Menggunakan metode persamaan kuadrat lainnya

Faktorisasi

Cara pertama menyelesaikan persamaan kuadrat adalah faktorisasi. Faktorisasi adalah proses mengubah persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor yang lebih sederhana. Langkah-langkah faktorisasi persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Ubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kanonik, yaitu ax^2 + bx + c = 0.
2. Faktorkan koefisien a dan c menjadi faktor-faktor prima.
3. Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan sama dengan koefisien b dan jika dikalikan sama dengan koefisien ac.
4. Gantikan koefisien b dengan dua bilangan yang ditemukan pada langkah sebelumnya.
5. Faktorkan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor yang sudah ditemukan pada langkah 4.

Contoh:

Ubah persamaan kuadrat berikut menjadi bentuk kanonik: 2x^2 – 7x + 3 = 0

Maka, kita dapat memfaktorkan koefisien a dan c menjadi faktor-faktor prima:

2 = 2 x 1
3 = 3 x 1

Setelah itu, cari dua bilangan yang jika dijumlahkan sama dengan koefisien b dan jika dikalikan sama dengan koefisien ac. Dalam contoh ini, kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan sama dengan -7 dan jika dikalikan sama dengan 6. Dua bilangan tersebut adalah -1 dan -6.

Gantikan koefisien b dengan dua bilangan yang ditemukan pada langkah sebelumnya:
2x^2 – 7x + 3 = 0
2x^2 – x – 6x + 3 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor:
(2x^2 – x) + (-6x + 3) = 0
x(2x – 1) – 3(2x – 1) = 0
(2x – 1)(x – 3) = 0

Maka, kita dapatkan dua akar dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu x = 1/2 dan x = 3.

Rumus Kuadrat

Cara kedua menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat adalah rumus yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus kuadrat adalah sebagai berikut:

x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

Langkah-langkah menggunakan rumus kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Ubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kanonik, yaitu ax^2 + bx + c = 0.
2. Tentukan nilai koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat.
3. Hitung diskriminan persamaan kuadrat, yaitu b^2 – 4ac.
4. Jika diskriminan positif, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda. Jika diskriminan nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar. Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.
5. Hitung nilai akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus kuadrat.

Contoh:

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: x^2 – 4x + 3 = 0

Maka, kita tentukan nilai koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat:
a = 1, b = -4, c = 3

Selanjutnya, hitung diskriminan persamaan kuadrat:
b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4(1)(3) = 4

Karena diskriminan positif, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda. Hitung nilai akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus kuadrat:

x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
x = (-(-4) ± √(4)) / 2(1)
x1 = 3
x2 = 1

Maka, kita dapatkan dua akar dari persamaan kuadrat tersebut, yaitu x1 = 3 dan x2 = 1.

Metode Persamaan Kuadrat Lainnya

Selain faktorisasi dan rumus kuadrat, terdapat beberapa metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, di antaranya:

1. Metode substitusi
2. Metode eliminasi

Metode substitusi adalah metode yang digunakan untuk menghilangkan salah satu variabel pada persamaan kuadrat dengan cara menggantikan variabel tersebut dengan ekspresi lain yang sudah diketahui nilainya. Metode ini lebih mudah digunakan jika salah satu variabel memiliki koefisien 1 atau -1.

Contoh:

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: x^2 – 6x + 8 = 0

Kita dapat memecah persamaan kuadrat menjadi dua persamaan linier seperti berikut:
x^2 – 6x = -8
x(x – 6) = -8

Kita ganti x – 6 dengan y:
y = x – 6

Maka, persamaan kuadrat menjadi:
x^2 – y^2 = -8

Kita dapatkan persamaan linier untuk y:
y^2 = x^2 + 8
y = ±√(x^2 + 8)

Gantikan y dengan x – 6:
x – 6 = ±√(x^2 + 8)

Kuadratkan kedua sisi persamaan:
(x – 6)^2 = x^2 + 8

Setelah itu, kita dapatkan persamaan kuadrat baru:
x^2 – 12x + 44 = 0

Kita dapatkan dua akar dari persamaan kuadrat tersebut menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat.

Metode eliminasi adalah metode yang digunakan untuk menghilangkan salah satu variabel pada persamaan kuadrat dengan cara mengurangi atau menambahkan dua persamaan kuadrat yang setara.

Contoh:

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: x^2 + y^2 = 25 dan x – y = 1

Kita kuadratkan kedua sisi persamaan x – y = 1:
(x – y)^2 = 1
x^2 – 2xy + y^2 = 1

Kita substitusikan x^2 + y^2 dengan 25:
25 – 2xy = 1
2xy = 24
xy = 12

Kita substitusikan xy dengan 12 pada persamaan x – y = 1:
x – y = 1
x – (12/x) = 1

Maka, kita dapatkan persamaan kuadrat baru:
x^2 – x – 12 = 0

Kita dapatkan dua akar dari persamaan kuadrat