Bicara Fakta Informasi Berita Terkini, Berita Terbaru dan Berita Hari Ini
Pengertian Turunan
Turunan adalah konsep dasar dalam kalkulus yang merupakan tingkat perubahan suatu persamaan matematika atau fungsi pada titik tertentu. Turunan sering digunakan untuk menghitung kecepatan atau percepatan dari sebuah objek dalam fisika, atau dalam keuangan untuk menghitung laju perubahan harga saham atau aset lainnya.
Dalam matematika, turunan juga dapat digunakan untuk menentukan titik maksimum atau minimum pada grafik sebuah fungsi. Dalam artikel ini, akan dibahas tentang cara menghitung turunan dengan contoh-contoh yang mudah dipahami.
Poin Penting dalam Menghitung Turunan
1. Notasi Turunan
Notasi turunan umumnya ditulis sebagai f'(x) atau dy/dx, yang artinya turunan dari suatu fungsi f pada titik x. Dalam notasi ini, dinyatakan bahwa turunan adalah tingkat perubahan fungsi pada titik x.
2. Persamaan Dasar Turunan
Persamaan dasar turunan adalah sebagai berikut:
f'(x) = lim h→0 (f(x+h) – f(x))/h
Persamaan ini menyatakan bahwa turunan suatu fungsi f pada titik x adalah batas dari selisih f(x+h) dan f(x), dibagi dengan jarak h saat h mendekati nol. Persamaan ini juga dapat ditulis dalam notasi diferensial sebagai dy/dx.
3. Aturan-aturan Turunan
Ada beberapa aturan dasar yang harus diperhatikan dalam menghitung turunan:
– Peraturan Turunan Konstan: Turunan dari konstan adalah nol. Jadi jika f(x) = k, maka f'(x) = 0.
– Peraturan Turunan Pangkat: Turunan dari x^n adalah nx^(n-1). Jadi jika f(x) = x^2, maka f'(x) = 2x.
– Peraturan Turunan Jumlah: Turunan dari jumlah dua atau lebih fungsi adalah sama dengan jumlah turunan dari masing-masing fungsi. Jadi jika f(x) = g(x) + h(x), maka f'(x) = g'(x) + h'(x).
– Peraturan Turunan Perkalian: Turunan dari perkalian dua atau lebih fungsi adalah sama dengan turunan pertama kali fungsi pertama, dikali dengan fungsi kedua, ditambah dengan turunan kedua kali fungsi kedua, dikali dengan fungsi pertama. Jadi jika f(x) = g(x)h(x), maka f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x).
– Peraturan Turunan Fungsi Komposit: Turunan dari suatu fungsi komposit atau fungsi terdiri dari fungsi dalam fungsi, adalah sama dengan turunan fungsi luar, dikali dengan turunan fungsi dalam. Jadi jika f(x) = g(h(x)), maka f'(x) = g'(h(x))h'(x).
4. Turunan ke-n dari Fungsi
Turunan ke-n dari fungsi adalah turunan berulang yang dilakukan sebanyak n kali. Turunan ke-n dari f(x) dapat ditulis sebagai f^n(x) atau dn/dxn(f(x)). Turunan pertama f'(x) adalah turunan biasa atau turunan pertama, sedangkan turunan kedua f”(x) adalah turunan kedua.
5. Turunan Parsial
Turunan parsial adalah turunan dari suatu fungsi terhadap variabel yang ditentukan, dengan mengasumsikan bahwa variabel lainnya tetap konstan. Misalnya, jika f(x,y) adalah fungsi dua variabel, turunan parsial f terhadap x ditulis sebagai ∂f/∂x atau f_x, dan turunan parsial f terhadap y ditulis sebagai ∂f/∂y atau f_y.
Cara Menghitung Turunan
1. Menghitung Turunan Pangkat
Turunan pangkat dari x^n adalah nx^(n-1). Contoh:
– f(x) = x^3, maka f'(x) = 3x^2
– f(x) = x^4, maka f'(x) = 4x^3
2. Menghitung Turunan Konstan
Turunan konstan adalah nol. Contoh:
– f(x) = 5, maka f'(x) = 0
– f(x) = 7, maka f'(x) = 0
3. Menghitung Turunan Jumlah
Turunan jumlah dari dua atau lebih fungsi adalah sama dengan jumlah turunan dari masing-masing fungsi. Contoh:
– f(x) = x^2 + 3x, maka f'(x) = 2x + 3
– f(x) = 2x^3 – 4x^2 + 6x – 8, maka f'(x) = 6x^2 – 8x + 6
4. Menghitung Turunan Perkalian
Turunan perkalian dari dua atau lebih fungsi adalah sama dengan turunan pertama kali fungsi pertama, dikali dengan fungsi kedua, ditambah dengan turunan kedua kali fungsi kedua, dikali dengan fungsi pertama. Contoh:
– f(x) = x^2 sin(x), maka f'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)
– f(x) = (x^2 + 2x)(x – 3), maka f'(x) = (2x + 2)(x – 3) + (x^2 + 2x)(1)
5. Menghitung Turunan Fungsi Komposit
Turunan fungsi komposit dari f(g(x)) adalah sama dengan turunan f'(g(x)) dikali dengan turunan g'(x). Contoh:
– f(x) = sin(x^2), maka f'(x) = cos(x^2)(2x)
– f(x) = e^(2x + 1), maka f'(x) = e^(2x + 1)(2)
6. Menghitung Turunan Parsial
Turunan parsial dari suatu fungsi terhadap variabel x adalah turunan biasa dari fungsi tersebut terhadap x, dengan mengasumsikan bahwa variabel y tetap konstan. Contoh:
– f(x,y) = x^2y + 3y^2, maka f_x = 2xy, f_y = x^2 + 6y
– f(x,y) = e^(x + y), maka f_x = e^(x + y), f_y = e^(x + y)
Kesimpulan
Turunan adalah konsep dasar dalam kalkulus yang digunakan untuk menghitung tingkat perubahan suatu fungsi pada titik tertentu. Notasi turunan umumnya dituliskan sebagai f'(x) atau dy/dx, dan persamaan dasar turunan adalah f'(x) = lim h→0 (f(x+h) – f(x))/h.
Beberapa aturan dasar dalam menghitung turunan antara lain aturan turunan konstan, turunan pangkat, turunan jumlah, turunan perkalian, dan turunan fungsi komposit. Turunan ke-n dari fungsi juga dapat dihitung dengan mengulang proses turunan sebanyak n kali.
Turunan parsial adalah turunan dari suatu fungsi terhadap variabel yang ditentukan, dengan mengasumsikan bahwa variabel lainnya tetap konstan. Dalam menghitung turunan, perlu diperhatikan aturan-aturan turunan dan cara menghitung turunan dari masing-masing jenis fungsi.
