Cara Menghitung Limit Dengan Mudah Dan Akurat: Panduan Lengkap Dengan Contoh Soal

Pengertian Limit

Limit adalah konsep matematika yang digunakan untuk menentukan nilai suatu fungsi ketika variabel-variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Dalam konteks matematika, limit sering digunakan untuk menentukan apakah suatu fungsi benar-benar konvergen ketika nilai variabelnya mendekati suatu nilai tertentu.

Untuk menghitung limit, terdapat beberapa metode atau teknik yang dapat digunakan. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menghitung limit dengan menggunakan teknik-teknik matematika yang sering digunakan.

1. Definisi Limit

Sebelum membahas cara menghitung limit, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu definisi limit. Limit merupakan nilai yang dihasilkan oleh suatu fungsi ketika variabel-variabelnya mendekati suatu nilai tertentu, tanpa harus mencapai nilai tersebut. Secara matematis, limit dapat dinyatakan sebagai berikut:

lim f(x) = L

x->a

Dalam persamaan tersebut, f(x) adalah fungsi yang akan dihitung limitnya, a adalah nilai variabel yang mendekati, dan L adalah nilai limit yang dihasilkan.

2. Cara Menghitung Limit dengan Menggunakan Aturan L’Hopital

Aturan L’Hopital adalah teknik yang sering digunakan untuk menghitung limit fungsi yang sulit dihitung. Aturan ini dapat digunakan ketika suatu fungsi menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞ ketika variabel mendekati nilai tertentu. Berikut adalah langkah-langkah cara menghitung limit dengan menggunakan aturan L’Hopital:

Langkah-langkah

1. Tentukan fungsi yang akan dihitung limitnya.

2. Cek apakah fungsi tersebut menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞ ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu.

3. Jika fungsi menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞, maka gunakan aturan L’Hopital untuk menghitung limitnya.

4. Aturan L’Hopital menyatakan bahwa jika sebuah fungsi menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞ ketika variabel mendekati suatu nilai tertentu, maka limit dari fungsi tersebut dapat dihitung dengan mengambil turunan pada fungsi pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Kemudian, hitung limit baru dari fungsi tersebut.

5. Ulangi langkah 4 hingga fungsi tidak lagi menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞.

6. Jika limit baru masih menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞, ulangi langkah 4 dan 5 hingga limit dapat dihitung.

Contoh:

Hitung limit dari fungsi f(x) = (x^2 – 4x + 3)/(x – 3) ketika x mendekati nilai 3.

Penyelesaian

1. Fungsi yang akan dihitung limitnya adalah f(x) = (x^2 – 4x + 3)/(x – 3).

2. Cek apakah fungsi menghasilkan nilai 0/0 atau ∞/∞ ketika x mendekati nilai 3.

f(3) = (3^2 – 4(3) + 3)/(3 – 3) = 0/0

Maka, fungsi menghasilkan nilai 0/0 ketika x mendekati nilai 3.

3. Gunakan aturan L’Hopital untuk menghitung limitnya. Turunkan fungsi pembilang dan penyebutnya secara terpisah.

f'(x) = (2x – 4)/(x – 3)

f”(x) = 2/(x – 3)^2

Lalu, hitung limit baru dari fungsi tersebut.

lim f(x) = lim f'(x)
x->3 x->3

= lim (2x – 4)/(x – 3)
x->3

= lim 2/(x – 3)
x->3

= 2/(3 – 3)
= 2/0

4. Limit baru masih menghasilkan nilai ∞/∞. Ulangi langkah 3.

f'(x) = (2x – 4)/(x – 3)

f”(x) = 2/(x – 3)^2

lim f'(x) = lim f”(x)
x->3 x->3

= lim 2/(x – 3)^2
x->3

= 2/(3 – 3)^2
= 2/0

5. Limit baru masih menghasilkan nilai ∞/∞. Ulangi langkah 3.

f'(x) = (2x – 4)/(x – 3)

f”(x) = 2/(x – 3)^2

lim f”(x) = 2/(3 – 3)^2
x->3

= 2/0

6. Karena limit baru masih menghasilkan nilai ∞/∞, ulangi langkah 3 hingga limit dapat dihitung.

f'(x) = (2x – 4)/(x – 3)

f”(x) = 2/(x – 3)^2

lim f”(x) = 2/(3 – 3)^2
x->3

= 2/0

7. Karena limit baru masih menghasilkan nilai ∞/∞, ulangi langkah 3 hingga limit dapat dihitung.

f'(x) = (2x – 4)/(x – 3)

f”(x) = 2/(x – 3)^2

lim f”(x) = 2/(3 – 3)^2
x->3

= 2/0

8. Karena limit baru masih menghasilkan nilai ∞/∞, ulangi langkah 3 hingga limit dapat dihitung.

f'(x) = (2x – 4)/(x – 3)

f”(x) = 2/(x – 3)^2

lim f”(x) = 2/(3 – 3)^2
x->3

= 2/0

9. Limit tidak dapat dihitung menggunakan aturan L’Hopital. Namun, dapat dilihat bahwa f(x) dapat disederhanakan menjadi (x – 1), sehingga limit dari fungsi tersebut ketika x mendekati nilai 3 adalah sebagai berikut:

lim f(x) = lim (x – 1)
x->3 x->3

= 3 – 1
= 2

Maka, limit dari fungsi f(x) = (x^2 – 4x + 3)/(x – 3) ketika x mendekati nilai 3 adalah 2.

3. Cara Menghitung Limit dengan Menggunakan Persamaan Limit

Persamaan limit juga dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi. Persamaan limit menyatakan bahwa jika suatu limit dapat diubah menjadi bentuk persamaan, maka limit tersebut dapat dihitung dengan mengganti nilai variabel yang diberikan pada persamaan tersebut. Berikut adalah langkah-langkah cara menghitung limit dengan menggunakan persamaan limit:

Langkah-langkah

1. Tentukan fungsi yang akan dihitung limitnya.

2. Ubah fungsi tersebut menjadi bentuk persamaan.

3. Ganti nilai variabel yang diberikan pada persamaan tersebut sesuai dengan nilai variabel yang didekati.

4. Hitung nilai persamaan tersebut.

Contoh:

Hitung limit dari fungsi f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) ketika x mendekati nilai 2.

Penyelesaian

1. Fungsi yang akan dihitung limitnya adalah f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2).

2. Ubah fungsi tersebut menjadi bentuk persamaan.

f(x) = ((x – 2) + 4)/(x – 2)

f(x) = (x – 2)/(x – 2) + 4/(x – 2)

f(x) = 1 + 4/(x – 2)

3. Ganti nilai variabel yang diberikan pada persamaan tersebut sesuai dengan nilai variabel yang didekati.

lim f(x) = lim (1 + 4/(x – 2))
x->2 x->2

4. Hitung nilai persamaan tersebut.

lim f(x) = 1 + 4/(2 – 2)
x->2

lim f(x) = 1 + 4/0
x->2

Maka, limit tidak dapat dihitung dengan menggunakan persamaan limit. Namun, dapat dilihat bahwa f(x) dapat disederhanakan menjadi x + 2, sehingga limit dari fungsi tersebut ketika x mendekati nilai 2 adalah sebagai berikut:

lim f(x) = lim (x + 2)
x->2