Belajar Mudah Persamaan Kuadrat Dengan Contoh Soal Dan Solusi Lengkap

Pendahuluan

Persamaan kuadrat merupakan salah satu topik yang penting dalam matematika. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum $ax^2+bx+c=0$ dan merupakan persamaan polinomial berderajat dua. Dalam pembahasannya, persamaan kuadrat memiliki banyak aspek yang perlu dipelajari, seperti mencari akar-akar persamaan, menentukan bentuk faktorisasinya, menentukan diskriminan, dan lain sebagainya.

Dalam artikel ini, akan dibahas secara mendalam mengenai persamaan kuadrat, mulai dari definisi, penyelesaian, hingga penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Definisi Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum $ax^2+bx+c=0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $x$ adalah variabel.

Contoh persamaan kuadrat adalah $3x^2+4x-1=0$. Dalam persamaan tersebut, $a=3$, $b=4$, $c=-1$, dan $x$ adalah variabel yang tidak diketahui nilainya.

Perlu dicatat bahwa persamaan kuadrat hanya dapat memiliki dua akar atau solusi. Hal ini bisa dibuktikan dengan menggunakan Teorema Dasar Aljabar.

Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Dalam artikel ini, akan dibahas dua cara yaitu metode faktorisasi dan metode rumus kuadrat.

Metode Faktorisasi

Metode faktorisasi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mudah. Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. Ubah persamaan kuadrat menjadi bentuk faktorisasi.

Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2+5x+6=0$. Langkah pertama adalah mencari dua bilangan yang ketika dijumlahkan menghasilkan $5$ dan ketika dikalikan menghasilkan $6$. Bilangan-bilangan tersebut adalah $2$ dan $3$. Oleh karena itu, persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan menjadi $(x+2)(x+3)=0$.

2. Gunakan sifat nol dari perkalian.

Sifat nol dari perkalian menyatakan bahwa jika suatu bilangan dikalikan dengan $0$, maka hasilnya adalah $0$. Oleh karena itu, persamaan $(x+2)(x+3)=0$ dapat diartikan bahwa nilai $x$ yang membuat $(x+2)$ atau $(x+3)$ menjadi $0$ adalah solusi dari persamaan kuadrat $x^2+5x+6=0$.

3. Selesaikan persamaan kuadrat.

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan metode faktorisasi:

a. Misalkan $(x+a)$ dan $(x+b)$ adalah faktor-faktor dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $aneq 0$.

b. Dengan menggunakan hukum distributif, persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis ulang menjadi $(x+a)(x+b)=0$.

c. Solusi dari persamaan kuadrat adalah $x=-a$ atau $x=-b$.

4. Contoh penggunaan metode faktorisasi.

Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2-7x+10=0$. Langkah pertama adalah mencari dua bilangan yang ketika dijumlahkan menghasilkan $-7$ dan ketika dikalikan menghasilkan $10$. Bilangan-bilangan tersebut adalah $-2$ dan $-5$. Oleh karena itu, persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x-5)=0$. Dengan menggunakan sifat nol dari perkalian, nilai $x$ yang membuat $(x-2)$ atau $(x-5)$ menjadi $0$ adalah solusi dari persamaan kuadrat $x^2-7x+10=0$. Oleh karena itu, solusinya adalah $x=2$ atau $x=5$.

Metode Rumus Kuadrat

Metode rumus kuadrat juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Berikut adalah langkah-langkahnya:

1. Gunakan rumus kuadrat.

Rumus kuadrat adalah $x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $aneq 0$.

2. Ganti nilai $a$, $b$, dan $c$ dengan nilai yang sesuai.

Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat $2x^2-5x+2=0$. Oleh karena itu, $a=2$, $b=-5$, dan $c=2$.

3. Hitung nilai diskriminan.

Diskriminan adalah bilangan di dalam akar pada rumus kuadrat, yaitu $b^2-4ac$. Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan jenis akar dari persamaan kuadrat, yaitu akar-akar nyata atau akar-akar imajiner.

4. Tentukan jenis akar.

Jika diskriminan lebih besar dari $0$, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata yang berbeda. Jika diskriminan sama dengan $0$, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata yang sama. Jika diskriminan kurang dari $0$, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar imajiner.

5. Hitung nilai akar.

Jika persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata yang berbeda, maka nilai akar adalah $x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Jika persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata yang sama, maka nilai akar adalah $x=frac{-b}{2a}$. Jika persamaan kuadrat memiliki dua akar imajiner, maka penyelesaiannya dilakukan dengan mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kompleks.

6. Contoh penggunaan metode rumus kuadrat.

Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2+6x+9=0$. Langkah pertama adalah mengganti nilai $a$, $b$, dan $c$ dengan nilai yang sesuai, yaitu $a=1$, $b=6$, dan $c=9$. Selanjutnya, kita perlu menghitung nilai diskriminan. Nilai diskriminan pada kasus ini adalah $b^2-4ac=6^2-4times 1times 9=0$. Oleh karena itu, persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar nyata yang sama, yaitu $x=frac{-b}{2a}=frac{-6}{2times 1}=-3$. Sehingga, solusi dari persamaan kuadrat $x^2+6x+9=0$ adalah $x=-3$.

Bentuk Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Setiap persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi bentuk $(ax+b)(cx+d)$, di mana $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah konstanta. Dalam bentuk faktorisasi tersebut, akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan dengan mudah.

Berikut adalah beberapa contoh bentuk faktorisasi persamaan kuadrat:

1. $(x+alpha)(x+beta)$

Persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi $(x+alpha)(x+beta)$ memiliki akar-akar $alpha$ dan $beta$.

Misalnya, persamaan kuadrat $x^2+5x+6=0$ dapat difaktorkan menjadi $(x+2)(x+3)$, sehingga akar-akarnya adalah $-2$ dan $-3$.

2. $(x-alpha)(x-beta)$

Persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi $(x-alpha)(x-beta)$ memiliki akar-akar $alpha$ dan $beta$.

Misalnya, persamaan kuadrat $x^2-7x+10=0$ dapat difakt